Week 8 のテーマは、Real Analysis: 実解析 です。
何やら聞き慣れない単語なのと、Wikipedia 見てもよくわかんないやつ、でした。
だいぶ初見ですが、どんな概念なのか見ていきます。
講義自体は、YouTube で公開されてます。リンクがこちらにあるので、興味がある人はぜひ。
https://www.youtube.com/watch?v=LN7cCW1rSsI
※ あくまで素人が趣味で防備のノートとしてまとめているだけなので、解釈違い、数学的な厳密さの欠如についてはご容赦ください。
Lecture 10A – Real Analysis 1
Numbers arose from the formalization of two different human cognitive conceptions, counting and measurement.
数の起こりは、人間の持つ2種類の認知能力からきている。計数と計量。そして、それぞれが、自然数と実数に対応する。
実際、歴史的に見ても数の概念は、 Natural numbers -> Integers -> Rational numbers -> Real numbers のように発展してきた。
Theorem: If \( r, s \) are rationals \( r \lt s \), then there is a rational \( t \) such that \( r \lt t \lt s \).
[This property is called density. The rational line is dense.]
Proof: Let \( \displaystyle t = \frac{1}{2} (r + s) \). Clearly, \( r \lt t \lt s \). Is \( t \in \mathbb{Q} \) ?
Let \( \displaystyle s = \frac{m}{n} \), \( \displaystyle s = \frac{p}{q} \), where \( m, n, p, q \in \mathbb{Z} \). Then \( \displaystyle t = \frac{1}{2} \left( \frac{m}{n} + \frac{p}{q} \right) = \frac{mq + np }{2nq} \), so as \( mq + np, 2nq \in \mathbb{Z} \), so \( t \in \mathbb{Q} \). ∎
どのような有理数 \( r, s \) を選んだとしても、この2つの有理数の間には、また別の有理数が存在する。
いわゆる、有理数の稠密性についての議論です。 参考: 高校数学の美しい物語
Let \( A = \{ x \in \mathbb{Q} | x \le 0 \lor x^2 \lt 2 \} \), \( B = \{ x \in \mathbb{Q} | x \gt 0 \land x^2 \ge 2 \} \).
Density does not mean there are no holes in the rational line.
Clearly, \( A \cup B = \mathbb{Q} \). But, \( A \) has no greatest number and \( B \) has no smallest number.
Hence, the rationals are inadequate to do mathematics
In \( \mathbb{Q} \), we cannot solve the equation \( x^2 -2 = 0 \).
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]
The real numbers were constructed by filling in the “holes” in the rational line.
上の \( \sqrt{2} \) の例のように、有理数だけの世界で考えたときに、解くことのできない問題が出てきてしまう。そうして、有理数から実数へと拡張されていった。
INTERVALS
Let \( a, b \in \mathbb{R} \), \( a \lt b \). The open interval \( (a, b) \) is the set \( (a, b) = \{ x \in \mathbb{R} | a \lt x \lt b \} \).
The closed interval \( [a, b] \) is the set \( [a, b] = \{x \in \mathbb{R} | a \le x \le b \} \).
NOTE: \( a, b \in [a, b] \), but \( a, b \not \in (a, b) \). <- THIS IS A BIG DISTINCTION!
学生の時に習うやつですね。 a から b までの区間。(それぞれ、端点を含むのと含まないのと)
Variants of the notation, Half-open (or half-closed) intervals:
- \( [a, b) = \{ x \in \mathbb{R} | a \le x \lt b \} \) <- left-closed, right-open
- \( (a, b] = \{ x \in \mathbb{R} | a \lt x \le b \} \) <- left-open, right-closed
- \( (- \infty , a] = \{ x \in \mathbb{R} | x \lt a \} \), \( (- \infty , a] = \{ x \in \mathbb{R} | x \le a \} \)
- \( (a, \infty) = \{ x \in \mathbb{R} | a \lt x \} \), \( (a, \infty] = \{ x \in \mathbb{R} | a \le x \} \)
NOTE: We don’t have \( (a, \infty] \ \) or \([\infty, a) \) because \( \infty \) is not a real number.
無限という概念自体が、実数全体の集合に含まれるわけではないので、区間を指定する際に含むことはできない。
COMPLETENESS PROPERTY
Given a set \( A \) of reals, a number \( b \) such that \( (\forall a \in A)[ a \le b ] \) is said to be an upper bound of \( A \).
We say \( b \) is a least upper bound of \( A \) if, in addition, for any upper bound \( c \) of \( A \), we have \( b \le c \).
“upper bound” と “least upper bound” は、それぞれ日本語で 「上界」、「最小上界」に対応する。参考：Wikipedia
Notation: \( lub(A) \) means Least Upper Bound of A.
[We can make the same definition for \( \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q} \).]
The completeness property of the real number system says that every nonempty set of reals that has an upper bound, has a least upper bound (in \( \mathbb{R} \)).
これは、実数の完備性 (completeness of the real numbers) や、実数の連続性と言われる。参考: Wikipedia
Lecture 10B – Real Analysis 2
BEGINNINGS OF “REAL ANALYSIS”
ここで “REAL” とは、”Real Number System” のこと。
Theorem: The rational line is not complete. <- real line ではないことに注意
[Completeness: If \( \mathbb{A} \subset \mathbb{R} \) has an upper bound, then it has a lub(Least Upper Bound), in \( \mathbb{R} \).]
Proof: Let \( \mathbb{A} = \{ r \in \mathbb{Q} | r \ge 0 \land r^2 \lt 2 \} \).
\( \mathbb{A} \) is bounded above, e.g., 2 is an upper bound. We will show that \( \mathbb{A} \) has no lub.
Let \( x \in \mathbb{Q} \) be any upper bound of \( \mathbb{A} \), and show there is a smaller one (in \( \mathbb{Q} \)).
Let \( x = p/q \), where \( p, q \in \mathbb{N} \).
Suppose \( x^2 \lt 2 \). Then \( 2q^2 \gt p^2 \).
\( \mathbb{A} \) の上界である \( x \)、これの2乗が2より小さくなるという仮定から始める。（背理法に則り矛盾を導く)
As \( n \) gets larger, \( \displaystyle \frac{n^2}{2n+1} \) increases without bound, so we can pick an \( n \in \mathbb{N} \) so large that \( \displaystyle \frac{n^2}{2n+1} \gt \frac{p^2}{2q^2 – p^2 } \), i.e., \( 2n^2q^2 \gt (n+1)^2 p^2 \). Hence \( \displaystyle \left( \frac{n+1}{n} \right)^2 \frac{p^2}{q^2} \lt 2 \).
ここで \( \displaystyle \frac{n+1}{n} \gt 0 \) また、\( x = p/q \) なので。
Let \( \displaystyle y = \left( \frac{n+1}{n} \right) \frac{p}{q} \). Then \( y \in \mathbb{Q} \) and \( y^2 \lt 2 \). So \( y \in \mathbb{A} \). But \( y \gt x \).
\( \mathbb{A} = \{ r \in \mathbb{Q} | r \ge 0 \land r^2 \lt 2 \} \) において、 \( x, y \in \mathbb{A} \) であるが、どのような \( x \) を選んでも(最大のものでも)それよりも大きな \( y \) が存在することになってしまい、矛盾する。
Contradiction, since \( x \) is an upper bound of \( \mathbb{A} \). So \( x^2 \ge 2 \).
続いて逆方向に向かって照明を進めていく。
We just showed that \( x^2 \ge 2 \). Hence, \( x^2 \gt 2 \). Thus \( p^2 \gt 2 q^2 \).
(\( x \in \mathbb{Q} \) であるため、無理数となる \( x^2 = 2 \) の場合は含めない。)
Pick \( n \) so large that:
\( \hspace{8mm} \displaystyle \frac{n^2}{2n+1} \gt \frac{2q^2}{p^2 – 2q^2} \), i.e., \( p^2 n^2 \gt 2q^2 (n+1)^2 \), i.e., \( \displaystyle \frac{p^2}{q^2} \left( \frac{n}{n+1} \right)^2 \gt 2 \).
Let \( \displaystyle y = \left( \frac{n}{n+1} \right) \frac{p}{q} \). Then \( y \in \mathbb{Q} \) and \( y^2 \gt 2 \). Since \( \displaystyle \frac{n}{n+1} \lt 1 \), \( y \lt x \).
But, for any \( a \in \mathbb{A} \), \( a^2 \lt 2 \lt y^2 \), so \( a \lt y \). Hence \( y \) is an upper bound of \( \mathbb{A} \), smaller than \( x \). Thus \( \mathbb{A} \) does not have a lub.
\( a^2 \lt 2 \lt y^2 \lt x^2 \) かつ、 \( 2 \lt x^2 \) となるような \( y^2 \) は、(有理数では)存在しないため、最小上界は存在しない、ということ。
This proves the theorem.
The construction of \( \mathbb{R} \) from \( \mathbb{Q} \) can be done in sevral different ways, but in all cases the the aim is to prevent an argument like the above going through for \( \mathbb{R} \).
REAL NUMBER SEQUENCES
List: \( a_1, a_2, a_3, \cdots = \{ a_n \}_{n=1}^{\infty} \), which is an infinite sequence.
e.g., \( 1, 2, 3, \cdots = \{ n \}_{n=1}^{\infty} \)
\( 7, 7, 7, \cdots = \{ 7 \}_{n=1}^{\infty} \)
\( 3, 1, 4, 1, 5, 9, \cdots = \) the decimal digits of \( \pi \)
\( \left\{ (-1)^{n+1} \right\}_{n=1}^{\infty} = +1, -1, +1, -1, \cdots \) (alternating sequence)
\(\displaystyle \left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n=1}^{\infty} = 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots \) The numbers get closer to 0 (arbitrarily).
If the numbers in a sequence \( \{ a_n\}_{n=1}^{\infty} \) get arbitrarily closer to some fixed number \( a \), we say \( \{ a_n\}_{n=1}^{\infty} \) tends to the limit \( a \), and write \( a_n \rightarrow a \) as \( n \rightarrow \infty \), or, \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \).
Lecture 10C – Real Analysis 3
\( \left\{ a_n \right\}_{n=1}^{\infty} \) , \( a_n \rightarrow a \) as \( n \rightarrow \infty \) \( \approx \) \( |a_n – a| \) becomes arbitrarily close to 0.
FORMAL DEFINITION
\( a_n \rightarrow a \) as \( n \rightarrow \infty \) iff \( (\forall \epsilon \gt 0 ) (\exists n \in \mathbb{N}) (\forall m \ge n) [ |a_m – a | \lt \epsilon ] \)
Consider the part \( (\exists n) (\forall m \ge n)[ |a_m – a| \lt \epsilon ] \).
From some point \( n \) onwards, all the number in \( \{ a_n \}_{n=1}^{\infty} \) are within a distance of \( \epsilon \) from \( a \).
Intuition is that we can take \( \epsilon \gt 0 \) as small as we want.
EXAMPLE – 1
\(\displaystyle \left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n=1}^{\infty} \) . \( \displaystyle \frac{1}{n} \to 0 \) as \( n \to \infty \).
Proof: \( \displaystyle (\forall \epsilon \gt 0)(\exists n \in \mathbb{N})(\forall m \ge n)[ \left| \frac{1}{m} – 0 \right| \lt \epsilon ] \)
i.e., \(\displaystyle (\forall \epsilon \gt 0) (\exists n)(\forall m \ge n) [\frac{1}{m} \lt \epsilon] \)
Let \( \epsilon \gt 0 \) be given (let \( \epsilon \gt 0 \) be arbitrary). We need to find an \( n \) such that \(\displaystyle (\forall m \ge n) (\frac{1}{m} \lt \epsilon) \).
Pick any \( n \) such that \(\displaystyle n \gt \frac{1}{\epsilon} \). [Uses the Archimedian Property]
Then, if \( m \ge n \), \( \displaystyle \frac{1}{m} \le \frac{1}{n} \lt \epsilon \). ∎
QUANTIFIER ORDER MATTERS. <- 「すべての0より大きい \( \epsilon \) に対して \( n \) が存在する」ということに留意。 \( n \) は \( \epsilon \) によって決まるということ。
The choice of \( n \) depended on \( \epsilon \).
Different \( \epsilon \), different \( n \).
EXAMPLE – 2
\( \displaystyle \left\{ \frac{n}{n+1} \right\}_{n+1}^{\infty} \) : \( \displaystyle \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \cdots \) Prove \( \displaystyle \frac{n}{n+1} \to 1 \) as \( n \to \infty \).
Proof: \(\displaystyle (\forall \epsilon \gt 0) (\exists n \in \mathbb{N}) (\forall m \ge n) [\left| \frac{m}{m+1} – 1 \right| \lt \epsilon ] \)
Let \( \epsilon \gt 0 \) be given. We need to find an \( n \) such that for all \( m \ge n \): \( \displaystyle \left| \frac{m}{m+1} -1 \right| \lt \epsilon \).
Pick \( n \) so large that \(\displaystyle n \gt \frac{1}{\epsilon} \). Then for any \( m \ge n \):
\(\displaystyle \left| \frac{m}{m+1} – 1 \right| = \left| \frac{-1}{m+1} \right| = \frac{1}{m+1} \lt \frac{1}{m} \le \frac{1}{n} \lt \epsilon \). ∎
\( (\forall \epsilon \gt 0) \) \( (\exists n \in \mathbb{N}) \) の発想が非常に重要で、この表現は極限や連続性の議論の中で非常によく見かけるもの。
まとめ
実際のところ、Week 9 がありますが、こちらは同様にこのコース Introduction to Mathematical Thinking を受講している人の提出課題やその他証明のサンプルをレビューして採点する内容になります。
実質的に Week 8 で完了なので、ここで全体をまとめておきます。
今までの議論は、最後にここ(現代数学がどのような基礎により成り立ってるか)に辿り着くためのステップでした。
語学もそうですが、数学も「非常に小さな要素の積み重ねで成り立っている」ということが再認識できる内容です。
コースのタイトルにもある、Mathematical Thinking は、一つ一つの考え方は難しくありませんが、それらが組み合わさることによって複雑な表現を織りなすことができ、そこから複雑な概念を議論することができる、素晴らしいツールだと思います。
興味がある方はぜひ受講してみてください。
Learning facts is relatively easy. Learning to think a whole new way is extremely difficult.
Dr. Keith Devlin
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